На протяжении тысячелетий философы и ученые размышляли над понятием "райности". Так, к примеру, философ Анаксимандр ввел апейрон — идею безграничного, или бесконечности. Столетия спустя, немецкий математик Георг Кантор сформулировал теорему о том, что каждое целое число должно иметь последующее число, что породило бесконечность +1.
Математики придумали бесчисленное множество способов записи и подсчета больших чисел: нули, экспоненты, тетрация (повторяющееся возведение в степень, которое создает сложенные степени степеней или "силовые башни"), символы, аналогии и даже метафоры.
По этой ссылке можно найти простой и удобный, но не самый точный список невероятно огромных чисел.
Большие числа, для простых смертных, едва ли вообще существуют и редко встречаются за пределами академических кругов, но они проливают свет на некоторые представления о нашем мире — его масштабах и пределах. И среди всего, что успели придумать ученые мужи, ярко выделяется неосуществимое вычисление — TREE(3). Это не просто огромное число и его легко посчитать имея базовые представления о математике. Проблема в другом — на это может уйти больше времени, чем, возможно, отпущено Вселенной.
При чем тут деревья и игры?
Слишком большой для математической записи, слишком громоздкий для описания, TREE(3) — не константа, а решение или верхняя граница решения реальных комбинаторных задач. Даже не так — это решение простой математической игры, известной как Игра в деревья.
В этой игре семена разного цвета используются для создания "леса" деревьев или ветвящихся графов. В игре есть два правила:
- начальное дерево должно содержать не более одного семени, второе дерево — максимум два семени, третье — максимум три и так далее.
- если игрок строит дерево, внутри которого могло бы находиться предыдущее дерево, лес погибнет, и игра закончится.
Говорят, что древовидный граф содержится внутри другого древовидного графа, если его внешние семенные ветви имеют общее семя — или предка — ранее в графе. Это немного сложнее школьного курса математики, но если вы учились на технической специальности, то, возможно, даже играли с преподавателем в простую версию этой игры.
Возникает логичный вопрос: Сколько ходов сможет сделать игрок (деревьев нарисовать), если у него X семян? Ответ: TREE(Х). TREE(Х) — это, по сути, последовательность, определенная для каждого целого числа n.
Не утруждайте себя подсчетами — существует только одна возможность с одним типом семени, поэтому TREE(1) — игра заканчивается после первого хода. С двумя типами семян игра может длиться только до трех попыток, поэтому TREE(2)=3. Выходит, что если семян будет всего три типа, TREE(3), то пройдет 10-15 ходов? Нет. Вы получите настолько огромное число, что оно, возможно, является самым близким к той самой "бесконечности".
Невозможно записать, но посчитать - вполне
Самые светлые умы человечества не могут даже приблизительно представить себе это число. По правде говоря, мы просто не можем записать его или сосчитать его цифры, а его полное вычисление все еще далеко от завершения. Однако есть твердая уверенность, что TREE(3) существует и что он конечен. Один математик придумал хитрый способ определить, сколько математических символов — например, показателей степени, стрелок, нижних индексов и т. п. — потребуется, чтобы доказать, что TREE(3) конечно, но даже это число практически невозможно понять.
Но мы попробуем. Великое TREE(3) выражается как 2↑↑1000. Это обозначение, основанное на передовых методах, таких как трансфинитная арифметика, является типом повторяющейся экспоненциальной функции, и в данном случае оно переводится как: 2 к 2 к 2 к 2 к 2... тысячу раз. Если еще проще, то это двойка, возведенная в степень двойки возведенной в степень двойки — и так 1000 раз.
Почти мистическая сущность, это непостижимо огромное число находится на грани между эмпиризмом и верой. TREE(3) расширяет границы нашего известного мира и нашего воображения. Возможно, квантовые вычисления и какой-то новый способ выражения чисел позволит нам, наконец, завершить вычисления, но, как склонны считать математики — нам просто не хватит времени.