Калькулятор акустических мод комнаты

Введите длину, ширину и высоту прямоугольной комнаты, чтобы найти её собственные акустические частоты. Выберите моду в списке и переместите источник или слушателя. Карта покажет форму давления, а график поможет увидеть, как положение точек и затухание меняют вклад этой моды.

Как пользоваться калькулятором

Все размеры и координаты задаются в метрах. Ось x идёт вдоль длины Lx, ось y вдоль ширины Ly, z отсчитывается от пола. Значение «Общая высота z» одновременно задаёт высоту карты, источника и ушей слушателя. Отдельные высоты этих точек в этой версии не моделируются.

По умолчанию задана комната 5 × 4 × 2,8 м и скорость звука 343 м/с. Можно изменить скорость вручную. Вычислитель перебирает все ненулевые моды до указанной верхней частоты, затем сортирует их по частоте. Совпавшие частоты не объединяются: у них могут быть разные формы давления.

На плане круг с буквой И обозначает источник, квадрат с буквой С обозначает слушателя. Их можно перетаскивать, двигать стрелками клавиатуры с шагом 0,05 м или задавать координатами. С Shift шаг равен 0,25 м. Enter на точке переводит фокус в её поле x. Кнопка «Слушатель в центре плана» меняет только x и y, сохраняя высоту z.

Откуда берутся частоты мод

Для пустой прямоугольной комнаты с идеально жёсткими стенами собственная частота имеет вид:[1]

f_n = (c / 2) √[(n_x / L_x)² + (n_y / L_y)² + (n_z / L_z)²].

Здесь c выражается в м/с, размеры Lx, Ly, Lz в метрах, а частота f_n в герцах. Индексы n_x, n_y, n_z принимают целые значения 0, 1, 2 и далее. Сочетание (0, 0, 0) даёт постоянное поле с нулевой частотой; калькулятор исключает его из списка колебательных мод.

• У осевой моды ненулевой один индекс, например (1, 0, 0).[1]
• У тангенциальной моды ненулевых индексов два, например (1, 1, 0).[1]
• У косой моды ненулевые все три индекса, например (1, 1, 1).[1]

Расчёт ограничен размерами от 1 до 15 м и верхней частотой от 20 до 400 Гц. Это пределы интерактивного инструмента, а не доказательство точности модели во всём диапазоне. Верхний предел индекса по каждой оси равен целой части 2 f_max L / c. При допустимом вводе перебирается не более 68 921 сочетания.

Что показывает карта давления

Пространственную форму выбранной моды задаёт произведение косинусов:[1]

φ(x, y, z) = cos(π n_x x / L_x) × cos(π n_y y / L_y) × cos(π n_z z / L_z).

На карте φ лежит между −1 и +1. Это безразмерная форма давления с фиксированным выбором фазы, без масштаба в паскалях или децибелах. Области с разными знаками колеблются в противофазе. Нулевые линии служат узлами выбранной моды; у вертикальной моды вся горизонтальная плоскость может оказаться узловой.[1]

Положение источника не меняет собственную форму комнаты. Оно меняет возбуждение моды: источник в её узле практически не возбуждает эту моду, а в пучности возбуждает сильнее.[1] Поэтому при перетаскивании И цвета карты остаются на месте, а значения связи и отклика меняются. Нуль одной моды не означает тишину: здесь могут присутствовать другие моды и прямой звук.

Затухание и относительный отклик

Частоты и формы выше рассчитаны без потерь. Для отдельного эксперимента с затуханием калькулятор добавляет линейный осциллятор с добротностью Q. В его уравнении коэффициент при первой производной равен ω_n / Q, где ω_n = 2π f_n.[2][3] Это заданный пользователем параметр, без расчёта поглощения стен или мебели.

Пусть C = φ(И) φ(С), а r = f / f_n. Показанная на графике амплитуда равна:

M(f) = |C| / √[(1 − r²)² + (r / Q)²].

Форма знаменателя следует из установившегося отклика вынужденного затухающего осциллятора.[2] Здесь принята единичная нормированная модальная сила. При C = 1 и f = 0 отклик равен 1; при f = f_n он равен |C|Q. Нормировка задаётся для каждой выбранной моды отдельно. График не складывает моды и не является частотной характеристикой реальной комнаты или колонки.

Рост Q означает более слабое затухание и более узкий резонанс.[2][3] Масштаб вертикальной оси графика меняется вместе с Q; числовое значение отклика позволяет сравнить амплитуды. При конечном Q максимум амплитуды находится ниже f_n: для этого осциллятора f_peak = f_n √[1 − 1 / (2Q²)]. Число над графиком относится именно к f = f_n.

Пример: комната 5 × 4 × 2,8 м

При c = 343 м/с первые осевые моды по трём направлениям получаются делением скорости на удвоенный размер:

• (1, 0, 0): 343 / (2 × 5) = 34,3 Гц.
• (0, 1, 0): 343 / (2 × 4) = 42,875 Гц.
• (0, 0, 1): 343 / (2 × 2,8) = 61,25 Гц.

Между второй и третьей осевыми модами находится тангенциальная (1, 1, 0): √(34,3² + 42,875²) ≈ 54,9068 Гц. Перебор даёт 72 моды с частотой не выше 200 Гц.

Выберите (1, 0, 0). Для источника x = 1 м значение φ ≈ 0,809017; для слушателя x = 3,5 м оно равно примерно −0,587785. При Q = 20 отклик на 34,3 Гц равен |0,809017 × (−0,587785)| × 20 ≈ 9,510565 относительных единиц. У этой моды n_y = n_z = 0, поэтому y и z не влияют на результат. Переместите слушателя на x = 2,5 м: он попадёт в узел, и вклад этой моды станет нулевым.

Для проверки влияния высоты выберите (0, 0, 1) и задайте z = 1,4 м. Узловая плоскость пройдёт через обе точки, а вся карта станет нейтральной.

Границы модели и проверка звуком

Расчёт предполагает прямоугольную геометрию, малые колебания, однородный воздух и жёсткие отражающие поверхности.[1] Он не учитывает проёмы, наклонные стены, податливые перегородки, мебель и направленность источника. Частоты и затухание в настоящем помещении могут отличаться. По этой карте нельзя назначить точное усиление эквалайзера, получить уровень в дБ или гарантировать результат акустической отделки.

Кнопка тона включает синусоиду на частоте выбранной моды на 3 секунды. Положение точек и Q не влияют на этот звук. Тон отключается кнопкой «Стоп», при изменении параметров, сбросе или уходе со вкладки; для мод ниже 20 Гц воспроизведение недоступно. Убавьте громкость устройства заранее и не пытайтесь компенсировать неслышный бас её повышением. Наушники и колонки не откалиброваны, поэтому прослушивание не подтверждает рассчитанный отклик комнаты.

Источники

1. Uppsala University. Room Acoustics with associated fundamentals of acoustics. Разделы 2.5 и 3.2, формулы (3.20), (3.21), страницы 25 и 26: формы давления, частоты, типы мод и положение источника.
2. Howard Georgi. The Physics of Waves, Chapter 2: Forced Oscillation and Resonance. MIT OpenCourseWare. Формулы (2.16), (2.21), (2.22) и раздел 2.3: вынужденный отклик и затухание.
3. MIT OpenCourseWare. Lecture 4: Damped Oscillations. Раздел 3.2, формула (27): определение добротности Q = ω₀ / (2γ).