Этот калькулятор показывает, как последовательная RC-цепь передаёт синусоидальный сигнал. Вы задаёте сопротивление, ёмкость, амплитуду входа и режим — фильтр низких или высоких частот. Двигая частоту по графику АЧХ, вы видите коэффициент передачи, ослабление в децибелах, фазовый сдвиг и то, как выглядят входной и выходной сигналы во времени.
Что считает калькулятор
Резистор R и конденсатор C образуют делитель, у которого верхнее и нижнее плечо по-разному зависят от частоты. На низких частотах конденсатор успевает заряжаться и почти не влияет на сигнал; на высоких он не успевает и работает как короткое замыкание. Поэтому одна и та же цепь пропускает низкие частоты, если снимать сигнал с конденсатора, и высокие, если снимать его с резистора.
Ключевая точка характеристики — частота среза fс. На ней модуль коэффициента передачи равен 0,707, то есть −3 дБ от максимума. Для RC-цепи fс = 1 / (2π·R·C), а постоянная времени τ = R·C. Это две записи одной и той же зависимости: τ измеряется в секундах и задаёт скорость реакции цепи, fс — в герцах и задаёт положение перегиба на АЧХ.
Крупное число в панели результата — выходная амплитуда при выбранной частоте. Ниже в списке собраны частота среза, постоянная времени, коэффициент передачи, ослабление, фаза и выходная амплитуда. Красная кривая на графике АЧХ идёт от 0 дБ слева к сильному ослаблению справа для ФНЧ и наоборот для ФВЧ. Пунктир отмечает уровень −3 дБ, вертикаль — частоту среза, круглый маркер — текущую частоту.
Как заполнять поля
Сопротивление вводится числом, а единица выбирается рядом: Ом, кОм или МОм. Ёмкость — в пФ, нФ или мкФ. Амплитуда входа задаётся в вольтах и влияет только на масштаб выходного сигнала, но не на форму характеристики. Режим переключается двумя кнопками: ФНЧ снимает сигнал с конденсатора, ФВЧ — с резистора.
Частота вводится в герцах в панели АЧХ или прямо на графике. Маркер перетаскивается мышью; с клавиатуры он двигается стрелками, Shift делает шаг в десять раз больше, Home и End переносят его к краям диапазона. Диапазон графика охватывает четыре декады: от fс/100 до 100·fс. Если введённая частота выходит за эти пределы, маркер останавливается на краю, а в подписи появляется пометка «вне графика»; сами расчётные значения считаются по введённой частоте.
Пустое поле не считается нулём. Пока значение не введено или введено неверно, результат скрывается и рядом с полем появляется сообщение. Ползунок времени в панели переходной характеристики задаёт момент от 0 до 5τ и не влияет на остальные числа.
Как получается результат
Обозначения: R — сопротивление в омах, C — ёмкость в фарадах, f — частота в герцах, A — амплитуда входа в вольтах. Постоянная времени и частота среза:
τ = R · C, fс = 1 / (2π · R · C).
Безразмерное отношение частоты к срезу x = f / fс = 2π·f·R·C. Через него выражается модуль коэффициента передачи:
|H| = 1 / √(1 + x²) для ФНЧ, |H| = x / √(1 + x²) для ФВЧ.
Ослабление в децибелах равно 20·lg|H|, выходная амплитуда — A·|H|. Фазовый сдвиг равен −arctg(x) для ФНЧ и 90° − arctg(x) для ФВЧ. На частоте среза для обоих режимов |H| = 0,707, ослабление −3 дБ, а фаза равна −45° у ФНЧ и +45° у ФВЧ.
Отклик на ступеньку амплитудой A считается по времени t: для ФНЧ U(t) = A·(1 − e^(−t/τ)), для ФВЧ U(t) = A·e^(−t/τ). При t = τ первое выражение даёт 63,2 % от A, второе — 36,8 %. На графике переходной характеристики отмечены моменты τ, 2τ и далее до 5τ.
Предельные значения следуют прямо из этих формул. При f → 0 ФНЧ даёт |H| → 1 и 0 дБ, а ФВЧ — 0; при f → ∞ знаки меняются.
Пример: R = 1 кОм, C = 100 нФ
Возьмём R = 1 кОм и C = 100 нФ. Тогда τ = 1000 · 100·10⁻⁹ = 10⁻⁴ с, то есть 0,1 мс. Частота среза fс = 1 / (2π · 1000 · 100·10⁻⁹) ≈ 1591,55 Гц, или 1,59 кГц.
Останемся в режиме ФНЧ и поставим частоту 1 кГц. Отношение x = 1000 / 1591,55 ≈ 0,628. Модуль |H| = 1 / √(1 + 0,628²) ≈ 0,8467, ослабление ≈ −1,445 дБ, фаза ≈ −32,14°. При амплитуде входа 1 В выходная амплитуда равна 0,847 В — эти же числа видны на экране.
Поднимем частоту к срезу, 1591,55 Гц. Здесь x = 1, |H| = 1/√2 ≈ 0,7071, ослабление ≈ −3,010 дБ, фаза ≈ −45°, выход 0,707 В. На 10 кГц, то есть примерно на шести частотах среза, |H| падает до ≈ 0,1572, а ослабление доходит до ≈ −16,07 дБ. Каждое удвоение частоты выше среза добавляет около −6 дБ.
Переключимся на ФВЧ и вернём частоту 1 кГц. Теперь ослаблен именно низ: |H| = x / √(1 + x²) ≈ 0,5320, ослабление ≈ −5,481 дБ, а фаза положительна и равна ≈ +57,86°. Выходная амплитуда при входе 1 В составит 0,532 В. На частоте среза ФВЧ даёт те же 0,707 и −3 дБ, а фазу +45°.
Наконец, переходная характеристика. В точке t = τ = 0,1 мс отклик ФНЧ равен 63,2 % от амплитуды ступеньки, а отклик ФВЧ — 36,8 %. Значения в метриках и на графиках считаются из тех же формул, что и в этом примере.
Где модель не работает
Расчёт описывает только идеальный фильтр первого порядка. Реальный резистор имеет собственную паразитную ёмкость и индуктивность, конденсатор — последовательное сопротивление и утечку, а соединительные провода добавляют индуктивность. На высоких частотах эти эффекты меняют характеристику, и наклон может уйти от предсказанных −6 дБ на октаву.
В цепь не входят сопротивления источника и нагрузки. Если к выходу подключить нагрузку, сравнимую по сопротивлению с R, частота среза и ослабление сместятся. Калькулятор не учитывает разброс номиналов и температуры, а также нелинейность при больших амплитудах. Поэтому результат подходит для учебной оценки и прикидки, но не заменяет измерение собранной схемы или точный расчёт с паразитными параметрами.