Что решает калькулятор
Квадратное уравнение записывают в виде a·x² + b·x + c = 0, где a, b и c — числа, а a не равно нулю. Калькулятор считает дискриминант, находит корни, показывает вершину параболы и строит график. Он же отвечает на вопрос, который обычно остаётся за рамками школьной формулы: как коэффициент c сдвигает параболу и в какой момент два корня сходятся в один, а потом исчезают.
Как заполнить поля
Введите три коэффициента: a, b и c. Знак минус учитывается. Стрелки клавиатуры увеличивают и уменьшают значение на шаг, поэтому пример можно подобрать без пересчёта в голове. Если очистить поле, результат пропадает и появляется сообщение об ошибке: пустая строка не считается нулём.
Отдельный случай — a = 0. Тогда уравнение перестаёт быть квадратным, и калькулятор решает линейное b·x + c = 0. Это не ошибка ввода, а другая задача, и подпись прямо об этом сообщает.
Дискриминант и что он значит на графике
Дискриминант D = b² − 4·a·c — это разность между квадратом коэффициента b и учетверённым произведением a·c. Его знак определяет, сколько раз парабола пересекает ось x:
- D > 0: два различных вещественных корня, парабола пересекает ось в двух точках;
- D = 0: один корень кратности два, парабола касается оси вершиной;
- D < 0: вещественных корней нет, парабола проходит выше или ниже оси и не пересекает её. Корни при этом существуют, но они комплексные.
Корни считаются по формуле x₁,₂ = (−b ± √D)/(2·a). Если D отрицательный, калькулятор не оставляет поле пустым, а показывает комплексно-сопряжённые значения x = −b/(2·a) ± i·√(−D)/(2·a), то есть с мнимой частью.
Вершина, ось симметрии и теорема Виета
Вершина параболы лежит в точке x_v = −b/(2·a), y_v = c − b²/(4·a). Через вершину проходит ось симметрии: точки графика слева и справа от неё повторяют друг друга на одинаковой высоте. Коэффициент a задаёт направление ветвей: при a > 0 они уходят вверх, при a < 0 вниз, а само |a| отвечает за крутизну.
Сумма и произведение корней связаны с коэффициентами напрямую: x₁ + x₂ = −b/a и x₁·x₂ = c/a. Это теорема Виета, и проверка по ней — самый быстрый способ заметить опечатку в коэффициентах. Когда корни вещественные, многочлен раскладывается на множители: a·x² + b·x + c = a·(x − x₁)·(x − x₂).
Как проверить результат на примере
Возьмём x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6, дискриминант D = 25 − 24 = 1. Корни: x₁ = (5 − 1)/2 = 2 и x₂ = (5 + 1)/2 = 3. Вершина стоит в точке x_v = 5/2 = 2,5, её высота y_v = 6 − 25/4 = −0,25. Сумма корней 5, произведение 6 — обе величины совпадают с −b/a и c/a. Разложение: (x − 2)(x − 3).
Три остальных примера кнопок показывают остальные случаи. x² − 4 = 0 даёт D = 16 и корни −2 и 2 при вершине в точке (0; −4). x² + 2x + 1 = 0 даёт D = 0 и единственный корень −1, вершина касается оси. 2x² + 4x + 5 = 0 даёт D = −24: вещественных корней нет, комплексные равны −1 ± (√6/2)·i, то есть −1 ± 1,2247·i, а вершина лежит в точке (−1; 3).
Что показывает ползунок
Первый режим меняет коэффициент b при постоянных a и c: парабола едет вдоль оси x, а корни расходятся или сближаются. Второй поднимает и опускает график через коэффициент c. На нём хорошо виден переход: пока c ниже вершины, прямых пересечений два; в момент касания остаётся один корень; выше — вещественных пересечений нет вовсе. Значение коэффициента в полях обновляется вслед за ползунком, поэтому подпись всегда соответствует картинке.
Границы расчёта
Калькулятор принимает коэффициенты до 10⁶ по модулю и до шести знаков после запятой. Бо́льшие значения отклоняются с понятным сообщением, потому что при них вычитание b² − 4·a·c теряет точность в числах с плавающей запятой: почти равные величины гасят друг друга в старших разрядах, и знак дискриминанта может стать недостоверным. Если нужны очень большие коэффициенты, делите уравнение на общий множитель: знак дискриминанта при этом не меняется, а сами корни остаются теми же.
Расчёт выполняется в вещественных числах двойной точности. Корни выводятся с округлением до значащих цифр, поэтому проверка подстановкой может дать небольшую ненулевую величину вместо строгого нуля. Это округление вывода, а не ошибка метода.