Что считает калькулятор
Система линейных уравнений состоит из нескольких уравнений, которые должны выполняться одновременно. Каждое уравнение с двумя неизвестными задаёт прямую на плоскости, а общая точка двух прямых и есть решение системы. С тремя неизвестными уравнение задаёт плоскость, и решение это точка пересечения трёх плоскостей.
Калькулятор решает системы 2×2 и 3×3, показывает число решений, определитель матрицы коэффициентов и невязку: насколько найденные числа удовлетворяют исходным уравнениям. Для системы 2×2 рядом строится график прямых, для 3×3 таблица шагов прямого хода Гаусса.
Как заполнить поля
Выберите размер системы: «2×2» или «3×3». Коэффициенты вписывайте так, как они стоят в уравнении. Для системы
2x + y = 5
x − y = 1
в поля первой строки идут 2, 1 и 5, второй строки 1, −1 и 1. Свободный член, число справа от знака равенства, вводится отдельно и со своим знаком. Если переменной в уравнении нет, её коэффициент равен нулю, так и запишите.
Кнопки «Готовые системы 2×2» подставляют четыре набора: одну точку пересечения, параллельные прямые, совпадающие прямые и почти параллельные. На них видно, как меняется ответ и подпись под графиком.
Как получается результат
Для системы 2×2 калькулятор считает три определителя. Главный: D = a₁₁·a₂₂ − a₂₁·a₁₂. Затем D₁, где вместо первого столбца стоит столбец свободных членов, и D₂ с подменой второго столбца. Если D не равен нулю, решение единственное: x = D₁/D, y = D₂/D. Это правило Крамера.
Для 3×3 работает метод Гаусса. Прямой ход обнуляет коэффициенты под главной диагональю: из второй строки вычитается первая, умноженная на нужный множитель, затем из третьей. На каждом шаге калькулятор выбирает ведущим элемент с наибольшим модулем в текущем столбце и при необходимости меняет строки местами, иначе на системе с нулём на диагонали деление оборвалось бы. Обратный ход идёт снизу вверх и находит неизвестные по очереди.
Ранг матрицы коэффициентов показывает, сколько независимых уравнений в системе. Если он меньше числа неизвестных, уравнений не хватает и решений бесконечно много: одна или несколько переменных остаются свободными. Если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов, система противоречива. Калькулятор сравнивает оба ранга и называет случай в блоке решения.
Пример, который можно повторить
Система 2x + y = 5, x − y = 1. Определитель D = 2·(−1) − 1·1 = −3. D₁ = 5·(−1) − 1·1 = −6, D₂ = 2·1 − 1·5 = −3. Отсюда x = −6 / (−3) = 2 и y = −3 / (−3) = 1. Подстановка: 2·2 + 1 = 5 и 2 − 1 = 1, невязка нулевая.
Система 3×3: x + 2y + 3z = 14, 2x − y + z = 3, 3x + y − z = 2. Определитель равен 25. После прямого и обратного хода получается x = 1, y = 2, z = 3. Проверка по третьему уравнению: 3·1 + 2 − 3 = 2.
Почему при нулевом определителе ответа может не быть
D = 0 означает, что прямые параллельны или совпадают, а в случае 3×3 что плоскости не пересекаются в одной точке. Дальше всё решают числители. В системе x + y = 2, 2x + 2y = 5 определитель нулевой, а D₁ = −1: левые части пропорциональны, правые нет, значит прямые параллельны и решений нет. В системе x + y = 2, 2x + 2y = 4 правая часть тоже пропорциональна: прямые совпадают, подходит любая точка прямой.
Эксперимент с числом обусловленности
Панель эксперимента двигает вторую прямую ползунками наклона и сдвига, а третий ползунок добавляет δ к правой части первого уравнения. Почти параллельные прямые показывают, где модель чувствительна: маленькая правка данных сильно двигает точку пересечения.
Для матрицы A = [[2, 1], [1, −1]] число обусловленности κ∞ = ‖A‖∞·‖A⁻¹‖∞ = 3·1 = 3. Если поднять c₁ с 5 до 5,1, решение станет (61/30, 31/30) ≈ (2,0333, 1,0333), сдвиг 1/30 ≈ 0,0333. Относительная граница из κ и относительной правки правой части равна 3·0,1/5 = 0,06. Фактический сдвиг в неё укладывается, и запас здесь ещё большой. У систем с определителем, близким к нулю, κ растёт, и тот же δ даёт совсем другой ответ.
Где модель останавливается
Коэффициенты вводятся как десятичные числа и считаются в двоичной арифметике двойной точности. Ответ вроде 0,30000000000000004 это округление, а не ошибка метода, и калькулятор показывает числа с разумным числом знаков. Невязка помогает отличить одно от другого: у честно найденного решения она близка к нулю.
Определитель и коэффициенты сравниваются с допуском, пропорциональным масштабу матрицы, 10⁻¹² от максимального по модулю коэффициента. Система с определителем порядка 10⁻¹³ считается вырожденной, и ответ будет «нет решений» или «бесконечно много», смотря что показывает правая часть. Формально единственное решение там есть, но лежит оно так далеко, что входные данные его не определяют. Без допуска шум округления давал бы «единственное решение» и там, где прямые совпали, и там, где они различаются в последнем знаке.
Калькулятор не даёт символьного ответа, не решает системы с параметрами и не ищет целочисленные решения. Для систем больше 3×3 нужен другой инструмент: здесь размерность ограничена, чтобы решение и график оставались наглядными.