Калькулятор определённого интеграла

Определённый интеграл — это площадь между графиком функции и осью абсцисс на отрезке от a до b. Калькулятор считает его методом Симпсона: введите функцию f(x) и границы, а он покажет значение, сравнение с методом трапеций, оценку погрешности по правилу Ричардсона и график с заштрихованной площадью.

Функция и пределы

Определённый интеграл считается численно методом Симпсона: введите f(x), границы a и b и число разбиений n. Границы можно двигать прямо на графике.

Функция f(x)

Синтаксис JavaScript: **, sin(), cos(), tan(), sqrt(), abs(), log(), ln(), exp(), константа PI. Степень записывается как x**2 или x^2.

Нижний предел a

Верхний предел b

Число разбиений n

a строго меньше b. Пустое или нечисловое значение даёт ошибку, а не ноль. n положительное; нечётное значение округляется вверх до чётного, как требует формула Симпсона.

Значение интеграла

—

∫ f(x) dx

Метод трапеций (сравнение): —
Оценка погрешности по Ричардсону: —
Число шагов: —
Шаг h: —

—

График и площадь

—

Кривая y = f(x) в окне вокруг отрезка [a; b]. Красная заливка — часть площади выше оси X, голубая — ниже. Тяните вертикальные маркеры мышью или двигайте стрелками ←/→ (Shift — крупный шаг).

Площадь выше оси X
Площадь ниже оси X
Пределы a и b

Таблица типичных интегралов

f(x)	∫f(x)dx
xⁿ	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
eˣ	eˣ + C
sin(x)	−cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C
√x	(2/3)x^(3/2) + C
1/(1+x²)	arctan(x) + C

∫ Как получается результат Симпсон, сравнение с трапециями, правило Ричардсона и границы модели

Определённый интеграл ∫f(x)dx от a до b — это знаковая площадь между графиком и осью X. Отрезок делится на n равных частей, шаг h = (b − a) / n. Метод Симпсона берёт квадратичную аппроксимацию на каждой паре соседних частей: S(n) = h/3 · [f(a) + f(b) + 4·Σf(нечётные) + 2·Σf(чётные)]. Такое построение точнее метода трапеций и прямоугольников при том же n.

Для контроля рядом считается метод трапеций: T(n) = h · [ (f(a) + f(b))/2 + Σf(внутренние) ]. Расхождение двух методов показывает, насколько результат чувствителен к способу сглаживания.

Оценку собственной погрешности Симпсона даёт правило Ричардсона. Считаем то же значение с удвоенным числом разбиений S(2n) и берём err = |S(n) − S(2n)| / 15. Множитель 15 выведен из того, что погрешность Симпсона убывает как O(h⁴): при уменьшении шага вдвое ошибка падает примерно в 16 раз, а остаток как раз равен одной пятнадцатой разницы.

Знак площади. Функция может быть отрицательной на части отрезка. Тогда интеграл равен разности: площадь выше оси X (положительная часть) минус площадь ниже оси X (отрицательная часть). Красная и голубая заливки на графике показывают эти части отдельно, а строка под результатом сообщает, меняет ли функция знак на [a; b].

Контрольный пример. f(x) = x², a = 0, b = 1, n = 1000. Шаг h = 0,001, метод Симпсона даёт 0,33333333 — это ровно 1/3 с точностью отображения; метод трапеций и оценка Ричардсона отличаются в пределах последних знаков. Подынтегральная функция здесь всюду неотрицательна, поэтому знак площади не меняется.

Границы модели. f(x) должна быть определена и конечна на всём [a; b] — разрыв, деление на ноль или логарифм неположительного числа дают ошибку вычисления, а не молчаливый ноль. n положительное и берётся чётным. Численное интегрирование приближённое: результат зависит от n и от гладкости функции, а не только от её значений в выбранных точках.

Для расчёта значения, графика и перетаскивания маркеров включите JavaScript. Формулы и пример приведены под калькулятором.

Что считает калькулятор

Определённый интеграл ∫f(x)dx от a до b равен знаковой площади между графиком функции и осью абсцисс. Калькулятор берёт функцию f(x), границы a и b и число разбиений n, а на экран выдаёт значение интеграла, сравнение с методом трапеций, оценку погрешности и график функции с заштрихованной площадью.

Как заполнить поля. В строку «Функция f(x)» впишите выражение на JavaScript: x**2, sin(x), sqrt(x), exp(x), ln(x). Степень записывается как x**2 или x^2. В полях «Нижний предел a» и «Верхний предел b» задайте границы, в списке «Число разбиений n» выберите число отрезков. Вертикальные маркеры на графике двигаются мышью и стрелками ←/→, после чего пределы и результат пересчитываются.

Откуда берётся число

Отрезок [a; b] делится на n равных частей, шаг h = (b − a) / n. Метод Симпсона заменяет функцию на каждой паре соседних отрезков квадратичной параболой и складывает площади под ними: S(n) = h/3 · [f(a) + f(b) + 4·Σf(нечётные) + 2·Σf(чётные)]. Для метода трапеций рядом считается T(n) = h · [ (f(a) + f(b))/2 + Σf(внутренние) ].

Погрешность оценивается правилом Ричардсона: то же значение считается с удвоенным числом разбиений и берётся err = |S(n) − S(2n)| / 15. Множитель 15 связан с тем, что ошибка Симпсона убывает как O(h⁴): при уменьшении шага вдвое она падает примерно в шестнадцать раз.

Пример, который можно повторить

f(x) = x², a = 0, b = 1, n = 1000. Шаг равен 0,001. Калькулятор показывает 0,33333333. Это ровно 1/3 с точностью отображения. Метод трапеций даёт 0,3333335, а оценка Ричардсона на этом примере близка к нулю: функция гладкая, и удвоение разбиений почти не меняет результат. Подынтегральная функция здесь неотрицательна, поэтому строка под результатом сообщает, что знак площади не меняется.

Второй пример: f(x) = x³, a = −1, b = 1. Интеграл равен нулю, но площадь не равна нулю, потому что часть графика лежит выше оси X, а часть ниже. Калькулятор разделяет эти области. Красная заливка показывает вклад выше оси X, голубая — ниже, а строка под результатом сообщает, что функция меняет знак.

Где модель не работает

Функция должна быть определена и конечна на всём отрезке [a; b]. Разрыв, деление на ноль или логарифм неположительного числа дают ошибку вычисления, а не молчаливый ноль. Число разбиений берётся чётным, нечётное значение округляется вверх, как требует формула Симпсона. Численное интегрирование приближённое: результат зависит от n и от гладкости функции, а не только от её значения в отдельных точках.

Составная формула Симпсона и правило Ричардсона — стандартные приёмы численного анализа; их вывод есть в курсах вычислительной математики, например A. Ralston, P. Rabinowitz, A First Course in Numerical Analysis.