Что считает калькулятор
Производная функции в точке — это наклон касательной к её графику. Калькулятор находит его численно: вы вводите выражение f(x), точку x₀ и шаг h, а на экране появляются наклон, уточнённое значение по Ричардсону, вторая производная, угол наклона и уравнение касательной. Рядом строится график с кривой, касательной в точке x₀ и секущей через точки x₀ − h и x₀ + h, а таблица под ним показывает, как меняется приближение при шаге от 10⁻² до 10⁻⁷.
Как заполнить поля
Функцию записывайте в одну строку: x^2+sin(x), 2*x, exp(x), ln(x). Доступны числа, переменная x, константы pi и e, операторы + − * / ^ и функции sin, cos, tan, asin, acos, atan, sqrt, abs, exp, ln, log. Степень можно писать как ^ или **; log означает десятичный логарифм, ln — натуральный. Умножение записывается только явно: строка 2x даст ошибку разбора, а 2*x посчитается. Кнопки с готовыми функциями подставляют проверенные выражения, включая x^3-3*x для кубической.
Точку x₀ можно ввести числом, сдвинуть ползунком или перетащить маркер прямо на графике. Шаг h выбирается из списка: 10⁻⁴ — разумный стандарт для гладкой функции, 10⁻² даёт грубую оценку, а 10⁻⁶ уже слишком мелкий шаг, где заметно округление.
Откуда берётся число
Основа расчёта — центральная разность D(h) = (f(x₀ + h) − f(x₀ − h)) / (2·h). Она берёт значения симметрично слева и справа, поэтому главный член погрешности сокращается, и остаток убывает как O(h²). Этого мало для уверенного ответа, поэтому калькулятор применяет экстраполяцию Ричардсона: считает то же приближение с удвоенным шагом и собирает уточнение R(h) = (4·D(h) − D(2h)) / 3, у которого остаток убывает уже как O(h⁴).
По той же тройке точек считается вторая производная: f″(x₀) ≈ (f(x₀ + h) − 2·f(x₀) + f(x₀ − h)) / h². Угол наклона касательной равен α = atan(D(h))·180/π и лежит в диапазоне от −90 до 90 градусов, а сама касательная описывается уравнением y = f(x₀) + D(h)·(x − x₀).
Полная погрешность складывается из двух частей: |D(h) − R(h)| + ε·|f(x₀)|/h, где ε = 2,220446049250313·10⁻¹⁶ — машинная точность double. Первое слагаемое отвечает за метод, второе — за округление, и оно растёт по мере уменьшения h.
Пример, который можно повторить
Возьмите f(x) = x^2 + sin(x), x₀ = 1, h = 10⁻⁴. Калькулятор показывает f′(1) = 2,5403023, уточнение Ричардсона 2,540302306, значение функции 1,841471, вторую производную 1,15853 и угол касательной 68,513°. Точное значение производной в этой точке 2 + cos 1 = 2,5403023059, поэтому ошибка центральной разности около 9,0·10⁻¹⁰, а уточнённого значения — около 1,4·10⁻¹².
Теперь уменьшите шаг до h = 10⁻¹⁰. Результат станет 2,540303523091, и ошибка вырастет до 1,2·10⁻⁶. Причина в вычитании почти одинаковых чисел: f(x₀ + h) и f(x₀ − h) совпадают в первых значащих цифрах, и разность теряет точность. Именно поэтому в списке шагов нет ничего мельче 10⁻⁶.
Другие контрольные значения при h = 10⁻⁴: для x³ − 3x в точке 2 получается 9, для sqrt(x) в 2 — 0,35355339, для ln(x) в 2 — 0,5, для 1/x в 3 — −0,11111111. Символьная производная у этих функций табличная, поэтому калькулятор показывает рядом и её, и расхождение с численным ответом.
Где модель не работает
Функция должна быть определена и конечна в окрестности x₀, включая точки x₀ ± h и x₀ ± 2h. Разрыв, полюс, корень из отрицательного числа или логарифм неположительного числа дают ошибку вычисления, а не молчаливый ноль; пустое поле тоже считается ошибкой.
Вторая производная делит разность на h², поэтому усиливает и погрешность округления, и шум исходных данных. Для табличных значений с разбросом численная производная может оказаться бесполезной, и тогда нужна аналитическая формула или предварительное сглаживание. Символьная сверка доступна только для пресетов: для произвольного выражения калькулятор честно пишет, что аналитическую производную не строит, и показывает только численный результат.
Численный метод не заменяет доказательство. Он даёт приближение с оценкой погрешности и помогает проверить формулу, но при разрывах, узких пиках и крупном шаге вывод стоит перепроверять независимо.
Центральная разность и экстраполяция Ричардсона: Ralston, A., Rabinowitz, P. A First Course in Numerical Analysis. Оценка оптимального шага и поведение округления: Higham, N. J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, глава 1.