Горячий чай остывает не по линейке: сначала температура падает быстро, потом всё медленнее, а в конце разница с комнатой почти не меняется. Калькулятор описывает этот процесс законом охлаждения Ньютона. Он принимает температуру среды и два измерения температуры одной чашки в разные моменты, подбирает постоянную остывания k именно под эти измерения и показывает, когда чашка дойдёт до нужной температуры. Вторая панель позволяет сравнить две чашки с разными замерами.
Что считает калькулятор
В основе лежит модель сосредоточенной теплоёмкости. Считается, что вся чашка имеет одну температуру, а скорость потерь тепла пропорциональна разнице между температурой чашки и температурой окружающего воздуха. Из этого получается формула T(t) = Tср + (T₀ − Tср)·e^(−k·t), где Tср — температура среды, T₀ — температура в начальный момент, k — постоянная остывания, t — время.
Пользователь не задаёт k вручную. Вместо этого он вводит два замера одной и той же чашки: время и температуру в каждый из моментов. По двум точкам постоянная находится однозначно, потому что на кривой заданного вида через две точки проходит ровно одна экспонента. Такой подбор честнее универсального значения: кружка с крышкой и кружка на сквозняке получат разные k, потому что остывают по-разному.
Крупное число в панели результата — время до целевой температуры. Ниже собраны сама постоянная k, постоянная времени τ, восстановленная начальная температура T₀ и температура в тот момент, на который поставлен маркер графика. В панели «Две чашки» те же величины считаются для второй чашки независимо, а на графике её кривая показана вторым цветом.
Как заполнять поля
Сначала задайте температуру среды — это температура комнаты или воды, в которой стоит чашка, в градусах Цельсия. Затем введите два замера чашки A: время в минутах и температуру в градусах. Время отсчитывается от одного и того же начала, поэтому второй замер обязан быть позже первого. Между замерами чашка должна остывать: T₁ больше T₂, и обе температуры выше температуры среды. Целевая температура должна лежать между температурой среды и первым замером: до более горячего состояния остывающая чашка дойти не может.
Чашка B заполняется теми же правилами. Если её данные не проходят проверку, ошибка показывается рядом с её полями, а расчёт чашки A продолжает работать. На графике кривую можно исследовать: круглый маркер перетаскивается мышью, а с клавиатуры двигается стрелками. Клавиша Shift увеличивает шаг в десять раз, Home и End переносят маркер к краям. Температура в выбранный момент сразу появляется в списке результатов.
Пустое поле считается ошибкой, а не нулём. Пока значение не введено или нарушает условия, результат скрывается целиком, чтобы старое число не выглядело новым ответом.
Как получается результат
Обозначения: Tср — температура среды в °C, t — время в минутах, T — температура в °C, k — постоянная остывания в 1/мин, τ — постоянная времени в минутах.
Закон охлаждения Ньютона записывается как T(t) = Tср + (T₀ − Tср)·e^(−k·t). Из двух замеров (t₁, T₁) и (t₂, T₂) постоянная находится по формуле:
k = ln((T₁ − Tср) / (T₂ − Tср)) / (t₂ − t₁).
Логарифм отношения двух избыточных температур делится на промежуток времени. Начальная температура восстанавливается из первого замера: T₀ = Tср + (T₁ − Tср)·e^(k·t₁). Постоянная времени равна τ = 1/k и показывает, за какое время разница температур уменьшается примерно в 2,7 раза. Время до целевой температуры Tц считается так:
t = t₁ + ln((T₁ − Tср) / (Tц − Tср)) / k.
Чем ближе цель к температуре среды, тем больше времени требует формула. Ровно до температуры среды или ниже чашка по этой модели не остынет никогда: экспонента приближается к асимптоте, но не пересекает её.
Пример, который можно повторить
Пусть в комнате 20 °C. Кружку чая измеряют дважды: через 2 минуты после начала наблюдения термометр показывает 80 °C, через 12 минут — 60 °C. Значит Tср = 20, t₁ = 2, T₁ = 80, t₂ = 12, T₂ = 60.
Подставим в формулу постоянной: отношение избыточных температур (80 − 20) / (60 − 20) = 60 / 40 = 1,5. Натуральный логарифм 1,5 равен примерно 0,4055, промежуток времени 12 − 2 = 10 минут. Тогда k = 0,4055 / 10 ≈ 0,0405 1/мин. Постоянная времени τ = 1 / 0,0405 ≈ 24,7 мин.
Восстановим начальную температуру: T₀ = 20 + (80 − 20)·e^(0,0405·2). Показатель степени равен 0,081, экспонента примерно 1,0845, поэтому T₀ ≈ 20 + 65,1 ≈ 85,1 °C. При t = 0 модель даёт 85,1 °C, при t = 2 минуты — ровно 80 °C, при t = 12 минут — ровно 60 °C: обе контрольные точки совпадают с измерениями.
Теперь время до цели. Для 50 °C ln((80 − 20) / (50 − 20)) = ln(2) ≈ 0,6931, деление на 0,0405 даёт 17,1 минуты, плюс начальные 2 минуты — примерно 19,1 мин. Для 40 °C ln((80 − 20) / (40 − 20)) = ln(3) ≈ 1,0986, это около 27,1 минуты, вместе с двумя минутами — примерно 29,1 мин. Для 60 °C получается ln(1,5) / 0,0405 = 10 минут, плюс 2 минуты — ровно 12 мин, то есть момент второго замера. Эти числа и показывает калькулятор при данных по умолчанию.
Сравним с более быстро остывающей чашкой B: те же 2 минуты и 80 °C, но через 12 минут уже 45 °C. Отношение (80 − 20) / (45 − 20) = 60 / 25 = 2,4, логарифм ≈ 0,8755, деление на 10 даёт k ≈ 0,0875 1/мин, а τ ≈ 11,4 мин. До 50 °C такая чашка доходит примерно за 9,9 минуты. Разница только во втором замере, а время до цели отличается почти вдвое.
Где модель не работает
Формула выведена для тела, температура которого одинакова по всему объёму, и для постоянной температуры среды. У настоящей чашки стенки, дно и жидкость нагреты по-разному, поэтому на первых минутах измерение может не ложиться на одну экспоненту. Внесли горячую чашку в прохладную комнату — температура воздуха вокруг неё какое-то время будет выше комнатной, и это тоже сдвинет результат.
Постоянная k считается постоянной, но на практике её меняют испарение с открытой поверхности, крышка, материал и толщина стенок, объём напитка, сквозняк от окна и работающий кондиционер. Добавление молока или льда меняет теплоёмкость и фактически перезапускает процесс. Модель не описывает фазовые переходы: пока тает лёд или закипает вода, температура держится на месте, а формула этого не показывает.
Поэтому результат стоит читать как оценку в тех же условиях, в которых сняты замеры. Для кухни и учебного опыта этого достаточно, а для термостата или калориметра понадобится модель с распределённой температурой и учётом теплопроводности.