Калькулятор сравнения сечений балки: прогиб при равной массе

Сравните сплошной квадрат, квадратную трубу и двутавр одной массы: видно, во сколько раз пустотелое сечение жёстче, и как меняется прогиб, когда сила едет по длине балки.

Балка, нагрузка и профиль

Материал

Погонная масса, кг/м

Толщина стенки t, мм

Длина L, м

Сосредоточенная сила F, кН

Какой профиль показывать

Все три профиля имеют одну и ту же погонную массу, поэтому их площадь сечения A = m/ρ одинакова; меняется только форма и момент инерции.

Положение силы x, м

1,5 м

Диапазон положения силы — от 0,05·L до 0,95·L.

Схема опирания

Шарнирно опёртая Консоль

Схема балки

Потяните маркер силы указателем или двигайте его стрелками клавиатуры (шаг 0,05 м, Home и End — к краям). В консольной схеме сила закреплена на свободном конце.

Прогиб по длине балки

Сплошной квадрат
Квадратная труба
Двутавр

По вертикали — прогиб в миллиметрах от верхней оси вниз, по горизонтали — расстояние от левого конца. Кривые пересчитываются при любом изменении полей.

Двутавр

—мм

Габарит a: —
Момент инерции I: —
Прогиб под силой: —
Напряжение σ: —
Жёсткость к сплошному I/I₀: —

Сравнение профилей при равной массе

Габарит, момент инерции, прогиб, напряжение и относительная жёсткость трёх профилей одинаковой массы
Профиль	a, мм	I, см⁴	δ, мм	σ, МПа	I/I₀	Примечание

ƒ Формулы и допущения Балка Эйлера—Бернулли, линейно-упругий изотропный материал, малый прогиб

Площадь сечения задаётся погонной массой: A = m/ρ. Для сплошного квадрата a = √A и I = a⁴/12. Для квадратной трубы со стенкой t внешний размер a = A/(4t) + t и I = (a⁴ − (a − 2t)⁴)/12. Для двутавра с полкой a и толщиной t: a = (A + 2t²)/(3t) и I = (a⁴ − (a − t)(a − 2t)³)/12.

Полое сечение существует, только если A > 4t²; иначе при такой массе стенка не оставляет внутренней полости, и профиль считается недопустимым.

Для шарнирно опёртой балки прогиб под силой δ = F x² b² / (3 E I L), где b = L − x. В произвольной точке z: при z ≤ x δ(z) = F b z (L² − b² − z²)/(6 E I L), при z ≥ x δ(z) = F x (L − z)(L² − x² − (L − z)²)/(6 E I L). Для консоли с силой на свободном конце δ(z) = F z²(3L − z)/(6 E I), максимум δ(L) = F L³/(3 E I).

Изгибающий момент шарнирной балки M = F x b / L, консоли M = F L. Напряжение σ = M c / I, где c = a/2. Числа модели не округляются, округляется только вывод.

Это учебная инженерная оценка, а не нормативный проектный расчёт: не учитываются собственный вес, концентраторы напряжений, устойчивость стенки, сдвиг и пластика. Для несущих конструкций нужен расчёт по действующим нормам.

Что считает калькулятор

Калькулятор сравнивает три сечения балки одинаковой погонной массы: сплошной квадрат, квадратную трубу и двутавр. Для каждого профиля он подбирает размер так, чтобы масса совпала, считает момент инерции и показывает прогиб под нагрузкой и наибольшее напряжение. Так видно, насколько выгоднее пустотелое или профильное сечение по сравнению со сплошным при том же расходе металла.

Модель — балка Эйлера—Бернулли с одной сосредоточенной силой: материал линейно-упругий и изотропный, прогибы малые. Это учебная инженерная оценка, а не нормативный проектный расчёт.

Как заполнить поля

Выберите материал — сталь (E = 210 ГПа, ρ = 7850 кг/м³) или алюминий (E = 70 ГПа, ρ = 2700 кг/м³). Погонная масса задаёт сечение: площадь A = m/ρ у всех трёх профилей одна и та же, поэтому меняется только форма и момент инерции. Толщина стенки t задаёт полые профили; если при выбранной массе стенка слишком толстая (A ≤ 4t²), внутренней полости не остаётся, и такое сечение помечается как недопустимое.

Длина L и сила F задают нагрузку, а положение силы x двигается мышью по схеме балки или стрелками клавиатуры — шаг 0,05 метра, Home и End переносят силу к краям. Схема опирания переключается между шарнирно опёртой балкой и консолью: у консоли сила закреплена на свободном конце. Кнопки примеров подставляют готовый набор значений.

Как получается результат

Шаг 1. Из погонной массы считается площадь: A = m/ρ. Шаг 2. Для каждого профиля из площади и толщины стенки находится наружный размер a и момент инерции I. Шаг 3. По схеме опирания считается прогиб под силой и наибольшее напряжение.

Разберём пример, который стоит на экране по умолчанию: сталь, m = 20 кг/м, t = 4 мм, L = 3 м, F = 10 кН, сила по середине x = 1,5 м, шарнирно опёртая балка. Площадь A = 20 / 7850 ≈ 0,00255 м² (≈ 25,5 см²) одинакова для всех трёх сечений.

Сплошной квадрат: сторона a = √A ≈ 50,5 мм, I ≈ 54,1 см⁴, прогиб под силой δ ≈ 49,5 мм, напряжение σ ≈ 350 МПа.
Квадратная труба: внешний размер a ≈ 163,2 мм, I ≈ 1077 см⁴, δ ≈ 2,49 мм, σ ≈ 56,8 МПа — примерно в 20 раз жёстче сплошного квадрата при той же массе.
Двутавр: высота a ≈ 215,0 мм, I ≈ 2210 см⁴, δ ≈ 1,21 мм, σ ≈ 36,5 МПа — около 41 раза жёстче сплошного квадрата.

Прогиб шарнирной балки под силой считается по δ = F x² b² / (3 E I L), где b = L − x, а в произвольной точке z — по формуле из блока «Формулы и допущения». Наибольшее напряжение σ = M c / I, где M = F x b / L, а c — половина высоты сечения. Консоль считается по δ = F L³ / (3 E I) на свободном конце.

Где модель останавливается

Прогиб и напряжение — только от заданной сосредоточенной силы: собственный вес балки, распределённая нагрузка и динамика не учитываются. Не учитываются также концентраторы напряжений, сдвиг, потеря устойчивости стенки и пластика. Формы профилей идеализированы: у двутавра полка равна высоте, а толщина полки и стенки одна и та же. Три сечения сравниваются при заданной толщине стенки, поэтому их наружные размеры различаются — это следствие равной массы, а не ошибка. Напряжение — оценочное: если оно превышает предел текучести материала, реальная балка работала бы за пределами упругости.